back Determinando o preço de um produto
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publication: Julho 06 2018 08:50
last update: Julho 06 2018 08:50
Suponha que um vendedor de paçoca venda seu produto a R$ 5,00 e que no mês de junho, durante as festas juninas, ele fez uma promoção e vendeu cada paçoca a R$ 4,00. Nesse período ele notou que vendeu 30 unidades a mais que as 100 que costumava vender por mês.
Como podemos ajudar nosso amigo vendedor a determinar o preço da paçoca de modo a obter o maior faturamento possível? De outro modo, qual deve ser o desconto ideal para que a faturamento do vendedor seja máximo?
Vamos assumir que a relação entre o preço e o número de unidades vendidas se mantenha, ou seja, que cada R$ 1,00 de desconto resulte em 30 unidades vendidas a mais. Vejamos alguns números:
| Preço unitário | Vendas | Faturamento do mês |
|---|---|---|
| R$ 2,00 | 190 | R$ 380,00 |
| R$ 3,00 | 160 | R$ 480,00 |
| R$ 4,00 | 130 | R$ 520,00 |
| R$ 5,00 | 100 | R$ 500,00 |
| R$ 6,00 | 70 | R$ 420,00 |
| R$ 7,00 | 40 | R$ 280,00 |
Observe que são vendidas $100+30x$ unidades sempre que reduzimos $x$ reais no preço unitário da paçoca. Dessa forma, se o preço unitário for $5-x$, serão vendidos $100+30x$ unidades e o faturamento será de $(100+30x)(5-x)$ reais.
Como
$$(100+30x)(5-x) = 500-100x+150x-30x^2 = 500+50x-30x^2$$
a função quadrática $F(x) = 500+50x-30x^2$ nos dá o faturamento obtido a cada $x$ reais de desconto no preço inicial de R$ 5,00.
Para resolver nosso problema, basta descobrir para qual valor de $x$ (desconto ideal) a função $F$ atinge seu valor máximo (maior faturamento possível). Completanto o quadrado:
$$F(x) = 500+50x-30x^2 = -30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 + \frac{3125}{6}$$
Mas, $\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 \ge 0$, pois o quadrado de qualquer número real é sempre $\ge 0$. Assim, $-30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 \le 0$ qualquer que seja o número real $x$.
Logo, o maior valor alcançado por $F$ é $\frac{3125}{6} \approx 520,83$ e é obtido quando $-30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=0 \Rightarrow x=\frac{5}{6} \approx 0,83$.
Portanto, ao dar um desconto de R$ 0,83, ou seja, ao vender suas paçocas a R$ 4,17, nosso amigo vendedor obterá o maior faturamento possível ao final do mês.